Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)设，，若对任意，且，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案不唯一，见解析；(Ⅱ) (0，2]

【解析】

（1）先求出，然后讨论在定义域内导函数符号问题. 即得函数的单调区间，

（2）先根据的单调性，以及 的单调性将转化为，进一步转化为，从而得新函数在(0，1]上是减函数，即恒成立，求出参数的范围.

(Ⅰ)

当时，函数定义域为(0，+∞)，恒成立，此时，函数在(0，+∞)单调递增；

当时，函数定义域为(一∞，0)，恒成立，此时，函数在(一∞，0)单调递增.

(Ⅱ)时，函数定义域为(0，+∞)，在(0，1]上递增，在(0，1]上递减，

不妨设，则

∴等价于

即

令

等价于函数在(0，1]上是减函数，

∴

令

即在(0，1]恒成立，分离参数，

得

令，.

∴在(0，1]递减，

∴，

又t∈[3，4]，

∴，

又，故实数的取值范围为(0，2].