Question

已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）－；（2）｛aa＞1或a=-3｝

解析试题分析：（1）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，化简可得2x+＝a•2x?a有且只有一个实根，令t=2x＞0，则转化成方程(a?1)t²?at?1＝0有且只有一个正根，讨论a=1，以及△=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数a的取值范围．
试题解析：(1)∵函数　f(x)＝ (＋1)＋kx(k∈R)是偶函数
∴　f(－x)＝ (＋1)－kx＝－kx＝ (4x＋1)－(k＋1)x＝ (4x＋1)＋kx恒成立
∴－(k＋1)＝k，则k＝－     4分
(2)g(x)＝ (a·－a)，
函数　f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程　f(x)＝g(x)只有一个解
由已知得 (4^x＋1)－x＝ (a·－a)
∴＝ (a·－a)，∴且=     8分
设。
设h（t）=（a-1）t²-at-1，若a-1＞0，∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解，a＞1满足题意。
若a-1=0，a=1，不满足题意。
若a-1＜0，即a＜1时，=0的a=-3或a=，
当a=-3时t=满足题意。
当a=时，t=-2（舍去）         11分
综上：a的取值范围是｛aa＞1或a=-3｝       12分
考点：对数函数图像与性质的综合应用.