Question

【题目】定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合，记作 且．已知集合．

（Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素；

（Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？

（Ⅲ）设集合,且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2，4，8，16，32，64；（Ⅱ）只有1个，d=1有91个；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据题意，分析集合T的元素，结合M﹣N的含义分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由等差数列的性质分析公差的最大、最小值，据此分析等差数列的数目，相加即可得答案；（Ⅲ）根据题意，将集合S中元素列表，据此分析集合集合S﹣A中的元素，由反证法分析可得结论．

（Ⅰ）根据题意，集合 ， ;

则；

则集合 的所有元素是： 2，4，8，16，32，64；

（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即 ．

这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100；

当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即d=1．

这样的数列首项可以是1，2，3，…，91中的任何一个，

因此共有91个公差为1的等差数列；

（Ⅲ）将集合中元素列表如下：

1	2	3	…	10
11	12	13	…	20
21	22	23	…	30
┆	┆	┆	┆	┆
91	92	93	…	100

表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．

假设存在含有10个元素的集合，使得 中不含10个元素组成的等差数列．

显然每连续10个元素中必有集合中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合中的唯一一个元素．

记表中第行第列的数为．

若第 行中集合A的唯一元素为 ，则第行中， ，… 中必有集合A中元素．

若第行的第一个数在集合中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．

因此，第一列中集合的唯一元素只可能在第十行．

同理，若第行的第二个数在集合中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．

因此，第二列中集合的唯一元素只可能在第九行．

依此类推，得 ．

此时，另一条对角线上的十个元素构成等差数列，与假设矛盾．

综上，原命题成立．