Question

12．已知函数f（x）=a$\sqrt{x}$+b（lnx+1）+1的图象在x=1处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，恒有$\sqrt{x}$＞lnx；
（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥（m-1）x+$\sqrt{x}$-1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用f（x）在x=1处的切线方程为x+2y-3=0，建立方程组，即可求a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\sqrt{x}-lnx$，求导数，确定函数的单调性，得出f（x）≥f（4）=2-ln4＞0，即可证明：当x＞0时，恒有$\sqrt{x}$＞lnx；
（Ⅲ）$f（x）≥（m-1）x+\sqrt{x}-1$，即$m≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，构造函数，确定函数的单调性，求出最小值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{a}{{2\sqrt{x}}}+\frac{b}{x}$，f（x）在x=1处的切线方程为x+2y-3=0
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1\\ f'（1）=-\frac{1}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a+b+1=1\\ \frac{a}{2}+b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\sqrt{x}-lnx$，
∴$f'（x）=\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{1}{x}=\frac{{\sqrt{x}-2}}{2x}$
当x∈（0，4），f'（x）＜0，当x∈（4，+∞），f'（x）＞0，
∴f（x）≥f（4）=2-ln4＞0，即$\sqrt{x}＞lnx$
解：（Ⅲ）$f（x）≥（m-1）x+\sqrt{x}-1$，
即$m≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立
设$g（x）=1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$则${g^'}（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1-lnx}{x^2}=\frac{lnx-2}{x^2}$
易得g（x）在（0，e²）上单调递减，在（e²，+∞）上单调递增，
所以$g{（x）_{min}}=g（{e^2}）=1-\frac{1}{e^2}$
所以$m≤1-\frac{1}{e^2}$．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、切线方程、善于把问题恰当转化为已经证明的问题是解题的关键．