Question

20．已知函数f（x）=xlnx+x，h（x）=bx+1
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=h（x）-$\frac{f（x）}{x}$，是否存在常数b，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值为3？若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=xlnx+x的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+2，由此利用导数性质能求出函数f（x）的极值．
（2）求出${g}^{'}（x）=b-\frac{1}{x}$=$\frac{bx-1}{x}$，由此根据b≤0，0＜$\frac{1}{b}$≤e，$\frac{1}{b}＞e$，利用分类讨论思想和导数性质能求出存在常数b=e²，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值为3．

解答 解：（1）函数f（x）=xlnx+x的定义域为（0，+∞），
f′（x）=lnx+2，
令f′（x）=0，得lnx+2=0，解得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
当x∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）时，f′（x）＜0，当x∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）有极小值为f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，无极大值．
（2）∵h（x）=bx+1，
∴g（x）=h（x）-$\frac{f（x）}{x}$=bx-lnx（x∈（0，e]），
${g}^{'}（x）=b-\frac{1}{x}$=$\frac{bx-1}{x}$，
①当b≤0时，g′（x）≤0，g（x）在（0，e]上单调递减，
g（x）_min=g（e）=bc-1=3，b=$\frac{4}{c}$（舍去），
②当0＜$\frac{1}{b}$≤e时，即b≥$\frac{1}{e}$时，在（0，$\frac{1}{b}$）上，g′（x）＜0，
在（$\frac{1}{b}$，+∞）上，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（$\frac{1}{b}$）=1+lnb=3，b=e²满足条件．
②当$\frac{1}{b}＞e$时，即0＜b＜$\frac{1}{e}$时，g′（x）≤0，
∴g（x）在x∈（0，e]上单调递减，
g（x）_min=g（e）=be-1=3，解得b=$\frac{4}{e}$（舍），
∴存在常数b=e²，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值为3．

点评 本题考查函数的极值的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、分类讨论思想的合理运用．