Question

18．已知函数f（x）=ln（x+1）-ax，x=0是极值点．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=$\frac{f（x-1）+x-1}{x}$，试比较g（6）+g（12）+…+g[n（n+1）]与$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$（n∈Z，n≥2）的大小．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用x=0是极值点，求实数a的值；
（2）证明当x＞1时，lnx＜x-1，可得x＞1时，g（x）＜$\frac{x-1}{x}$=1-$\frac{1}{x}$，即可比较大小．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a，…（2分）
由题意f′（0）=1-a=0…（（3分）
∴a=1…（4分）
（2）g（x）=$\frac{lnx}{x}$．…（5分）
先证当x＞1时，lnx＜x-1
令h（x）=lnx-x+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0．…（6分）
所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以h（x）＜h（1）=0，
所以当x＞1时，g（x）＜$\frac{x-1}{x}$=1-$\frac{1}{x}$．…（8分）
所以g（6）+g（12）+…+g[n（n+1）]
$＜1-\frac{1}{2×3}$+1-$\frac{1}{3×4}$+…+1-$\frac{1}{n（n+1）}$=n-1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查大小比较，正确运用导数是关键．