Question

13．已知直线y=-x+m是曲线y=x²-3lnx的一条切线，若函数f（x）=$\frac{{m}^{x}-1}{1+{m}^{x}}$，满足f[a（x+1）]+f[（x+2）（x+4）]＞0，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （2$\sqrt{3}$+4，+∞）
• B． [-2$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （4，+∞）
• D． （-2$\sqrt{3}$-4，+∞）

Answer 1

分析 求出曲线的导数，利用导数为-1，求出切点坐标，即可求出m的值．判断函数是奇函数，f（x）=1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$是单调增函数，f[a（x+1）]+f[（x+2）（x+4）]＞0，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，可以转化为a＞-$\frac{（x+2）（x+4）}{x+1}$对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，即可得出结论．

解答 解：曲线y=x²-3lnx（x＞0）的导数为：y′=2x-$\frac{3}{x}$，
由题意直线y=-x+m是曲线y=x²-3lnx的一条切线，可知2x-$\frac{3}{x}$=-1，
所以x=1，所以切点坐标为（1，1），
切点在直线上，所以m=1+1=2，
所以f（x）=$\frac{{m}^{x}-1}{1+{m}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{1+{2}^{x}}$，
所以f（-x）=-f（x），函数是奇函数，
因为f（x）=1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$是单调增函数，
所以f[a（x+1）]+f[（x+2）（x+4）]＞0，对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
可以转化为a＞-$\frac{（x+2）（x+4）}{x+1}$对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令t=x+1（t＞1），则$\frac{（x+2）（x+4）}{x+1}$=t+$\frac{3}{t}$+4≥2$\sqrt{3}$+4，
所以a$＞-2\sqrt{3}-4$．
故选：D．

点评 本题考查曲线的导数与切线方程的关系，考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，考查计算能力，属于中档题．