Question

已知函数f（x）=

cosx (-π≤x＜0) sinx  (0≤x≤π)

（1）若f（x）=

1

2

，求x的值；
（2）若a为常数，且a∈R，试讨论方程f（x）=a的解的个数．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）作出函数f（x）=

cosx (-π≤x＜0) sinx  (0≤x≤π)

的图象，如图所示，由f（x）=

1

2

，分当-π＜x＜0时，和当0≤x≤π时两种情况，分别求得x的值，综上可得结论．
（2）若a∈R，讨论方程f（x）=a的解的个数，即函数f（x）的图象和直线y=a的交点个数．数形结合可得结论

解答： 解：（1）作出函数f（x）=

cosx (-π≤x＜0) sinx  (0≤x≤π)

的图象，如图所示：
∵f（x）=

1

2

，当-π＜x＜0时，由cosx=

1

2

，可得x=-

π

3

．
当0≤x≤π时，由sinx=

1

2

，可得x=

π

6

，或x=

5π

6

．
综上可得，要求的x的值共计三个：x=-

π

3

，或x=

π

6

，或x=

5π

6

．
（2）若a∈R，讨论方程f（x）=a的解的个数，即函数f（x）的图象和直线y=a的交点个数．
数形结合可得，当a＞1，或 a＜-1时，函数f（x）的图象和直线y=a的交点个数为0；
当-1≤a＜0时，函数f（x）的图象和直线y=a的交点个数为1；
当a=1时，函数f（x）的图象和直线y=a的交点个数为2；
当0≤a＜1时，函数f（x）的图象和直线y=a的交点个数为3．

点评：本题主要考查正弦函数、余弦函数的图象，解三角方程，方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合、分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．