Question

设平面内两向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（cosβ，-sinβ），且α+β=

π

2

，又k与t是两个不同时为零的实数．
（Ⅰ）若

x

=

a

+（t-3）

b

与

y

=-k

a

+t

b

垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；
（Ⅱ）求函数k=f（t）的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题

分析：（1）利用向量数量积的坐标运算，结合

x

•

y

=0，得出k，f关系式，分离k得出k=f（t）
（2）由（1）k=f（t）=

t(t-3)

4

，利用二次函数性质求最小值即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（cosβ，-sinβ），
∴

a

•

b

=2cosαcosβ-2sinαsinβ=2cos（α+β）=0
∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0，即-k

a

²+t（t-3）

b

²=0，
化简-4k+t（t-3）=0，
∴k=f（t）=

t(t-3)

4

（2）k=f（t）=

1

4

[（t-

3

2

）²-

9

4

]，当t=

3

2

时，f（t）的最小值为-

9

16

．

点评：本题考查向量的坐标运算，函数思想，及函数最值求解．难度不大．