Question

设函数f（x）=|2x-1|．
（I）不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，求a值；
（Ⅱ）若g（x）=

1

f(x)+f(x-1)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的定义域及其求法

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）不等式f（x）≤a等价于-a≤2x-1≤a，而f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，于是可求得a值；
（Ⅱ）由g（x）的定义域为R知，|2x-1|+|2x-3|=-m没有实数根，利用绝对值三角不等式易求|2x-1|+|2x-3|≥2，从而解不等式-m＜2即可．

解答： （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（I）不等式f（x）≤a等价于-a≤2x-1≤a，即

1-a

2

≤x≤

1+a

2

，
∵不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，
∴

1-a 2 =0 1+a 2 =1

，解得a=1；   …（5分）
（II）g（x）=

1

f(x)+f(x-1)+m

=

1

|2x-1|+|2x-3|+m

，
∵g（x）的定义域为R，∴|2x-1|+|2x-3|=-m没有实数根，
∵|2x-1|+|2x-3|≥|（2x-1）-（2x-3）|=2，当

1

2

≤x≤

3

2

时取等号，
∴-m＜2，实数m的取值范围是（-2，+∞）．      …（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与绝对值三角不等式的综合应用，属于中档题．