Question

已知向量

a

=（1，sinx），

b

=（cos（2x+

π

3

），sinx），函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

cos2x
（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

3

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先根据

a

=（1，sinx），

b

=（cos（2x+

π

3

），sinx），求出

a

•

b

；然后根据函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

cos2x，求出函数f（x）的解析式；最后根据正弦函数的特征，求出其单调递增区间即可；
（2）当x∈[0，

π

3

]时，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，然后求出函数f（x）的值域即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

cos2x
=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

-

1

2

cos2x
=

1

2

-sin(2x+

π

6

)，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
可得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
单调递增区间为：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]；
（2）当x∈[0，

π

3

]时，
可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
因此sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
所以函数f（x）的值域是[-

1

2

，0]．

点评：本题主要考查了三角函数的解析式、值域、单调区间的求法，以及向量的乘法的运用，属于中档题．