Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间[0，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f（x）的最小正周期T；
（2）由三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递增区间；
（3）根据三角函数的单调性即可求函数f（x）在区间[0，

π

3

]上的值域．

解答： 解：f(x)=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+

3

(cos2x-sin2x)=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）
（1）则函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得-

5π

12

+kπ≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间[-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（3）若x∈[0，

π

3

]，则2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，
则当2x+

π

3

=

π

2

时，函数f（x）取得最大值f（x）=2，
当2x+

π

3

=π，函数f（x）取得最小值f（x）=2×0=0，
即函数f（x）在区间[0，

π

3

]上的值域[0，2]．

点评：本题主要考查函数的周期和单调区间和值域的求解，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．