Question

若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①都P，Q在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点组（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．已知函数f（x）=

k(x+1)，  x＜0 x2+1，  x≥0

有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据“伙伴点组”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）=x²+1，x≥0时关于原点对称的图象，利用对称图象在x＜0上两个图象的交点个数，建立条件关系即可求出实数k的取值范围．

解答： 解：由题意知函数f（x）=x²+1，x≥0关于原点对称的图象为-y=x²+1，
即y=-x²-1，x＜0，
在0＜x＜2上作出两个函数的图象如图，
当直线y=k（x+1）与y=-x²-1，x＜0相切时，此时两个图象有一个公共点，
即k（x+1）=-x²-1，即x²+kx+k+1=0，
则判别式△=k²-4（k+1）=k²-4k-4=0，
解得k=

4+ 16+16

2

=

4+4 2

2

=2+2

2

或k=2-2

2

＜0，（舍去），
若函数f（x）=

k(x+1)，  x＜0 x2+1，  x≥0

有两个“伙伴点组”，
则k＞2+2

2

，
故答案为：k＞2+2

2

点评：本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用一元二次方程与判别式△之间的关系，利用数形结合的思想是解决本题的关键．