Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=2，记S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₁₀₀=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由a_n+2+（-1）ⁿa_n=2得，当n为奇数时，a_n+2-a_n=2，可判断数列{a_n}的奇数项构成等差数列，当n为偶数时，a_n+2+a_n=2，即a₂+a₄=a₄+a₆=…=2，然后利用分组求和可求得答案．

解答： 解：由a_n+2+（-1）ⁿa_n=2得，
当n为奇数时，a_n+2-a_n=2，即数列{a_n}的奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，
当n为偶数时，a_n+2+a_n=2，即a₂+a₄=a₄+a₆=…=2，
∴S₁₀₀=（a₁+a₃+…+a₉₉）+（a₂+a₄+…+a₁₀₀）
=（1+3+…+99）+（2+2+…+2）
=50×1+

50×49

2

×2+2×25=2550，
故答案为：2550．

点评：本题考查数列递推式、数列的求和问题，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．