Question

6．已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx（a为实常数）．
（Ⅰ）若a=-2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性；
（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时可得f（x）=x²-2lnx，求导数值可得切线斜率，求函数值可得定点，可得直线方程；
（2）求导数可得结合x∈[1，e]，利用单调性和导数的关系分$\frac{a}{2}≤1$和$1＜\frac{a}{2}＜e$以及$\frac{a}{2}≥e$讨论可得；
（3）结合（2）的单调性，分类讨论分别求a≤2和2＜a＜2e以及a≥2e时a的范围，综合可得．

解答 解：（1）当a=-2时，f（x）=x²-2lnx，∴f′（x）=2x-2•$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=0，又f（1）=1，∴，所求切线方程为y-1=0；
（2）求导数可得${f^'}（x）=2x-（a+2）+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-（{a+2}）x+a}}{x}=\frac{{（{2x-a}）（{x-1}）}}{x}$，x∈[1，e]，
当$\frac{a}{2}≤1$即a≤2时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，此时，f（x）在[1，e]上单调增；
当$1＜\frac{a}{2}＜e$即2＜a＜2e时，$x∈（{1，\frac{a}{2}}）$时，f′（x）＜0，f（x）$（{1，\frac{a}{2}}）$上单调减；
$x∈（{\frac{a}{2}，e}）$时，f′（x）＞0，f（x）在$（{\frac{a}{2}，e}）$上单调增；
当$\frac{a}{2}≥e$即a≥2e时，x∈[1，e]，f′（x）≤0，此时，f（x）在[1，e]上单调减；
（3）当a≤2时，∵f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）的最小值为f（1）=-a-1，∴-1≤a≤2
当2＜a＜2e时，f（x）在$（{1，\frac{a}{2}}）$上单调减，在$（{\frac{a}{2}，e}）$上单调增，
∴f（x）的最小值为$f（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-a+aln\frac{a}{2}=a（{ln\frac{a}{2}-\frac{a}{4}-1}）$，
∵$2＜a＜2e∴0＜ln\frac{a}{2}＜1$，$\frac{3}{2}＜\frac{a}{4}+1＜\frac{e}{2}+1$
∴$f（\frac{a}{2}）=a（{ln\frac{a}{2}-\frac{a}{4}-1}）＜0$，∴2＜a＜2e
当a≥2e时，f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）的最小值为f（e）=e²-（a+2）e+a，
∵$a≥2e＞\frac{{{e^2}-2e}}{e-1}$，∴f（e）＜0，∴a≥2e
综上可得a≥-1．

点评 本题考查导数的综合应用，涉及曲线的切线和函数的单调性以及分类讨论的思想，属难题．