Question

6．已知函数f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）
（1）当λ=-4时，求解方程f（x）=3；
（2）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）当λ=-4时，令t=3^x＞0，则原方程可化为t²-3t-4=0，求得t的值，可得x的值．
（2）函数的定义域为R，分当λ=1、当λ=-1、当|λ|≠1三种情况，分别根据奇偶函数的定义进行判断，可得结论．

解答 解：（1）当λ=-4时，由f（x）=3，得3^x-4•3^-x=3．
 令t=3^x＞0，则原方程可化为t²-3t-4=0，解得t=4，或t=-1（舍去），
所以，x=log₃4．
（2）函数 的定义域为R，当λ=1时，f（x）=3^x+3^-x，f（-x）=f（x），
函数为偶函数；
当λ=-1时，f（x）=3^x-3^-x，f（-x）=-f（x），函数为奇函数；
当|λ|≠1时，$f（1）=3+\frac{λ}{3}，f（-1）=\frac{1}{3}+3λ$，
此时f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），所以函数为非奇非偶函数．

点评 本题主要考查指数方程的解法，函数的奇偶性的判断，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．