Question

16．已知a，b，c分别是锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=1，b=2cosC，sinCcosA-sin（$\frac{π}{4}$-B）sin（$\frac{π}{4}$+B）=0，则△ABC的内角B的大小为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 a=1，b=2cosC，利用正弦定理可得：sinB=2sinAcosC．由sinCcosA-sin（$\frac{π}{4}$-B）cos（$\frac{π}{4}$-B）=0，利用诱导公式可得：sinCcosA-$\frac{1}{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$-2B）=0，
利用倍角公式可得：2sinCcosA=1-2sin²B，联立化简即可得出．

解答 解：∵锐角△ABC中，a=1，b=2cosC，∴$\frac{1}{sinA}=\frac{2cosC}{sinB}$，可得sinB=2sinAcosC．
∵sinCcosA-sin（$\frac{π}{4}$-B）sin（$\frac{π}{4}$+B）=0，sin（$\frac{π}{4}$+B）=$cos（\frac{π}{4}-B）$，
∴sinCcosA-sin（$\frac{π}{4}$-B）cos（$\frac{π}{4}$-B）=0，∴sinCcosA-$\frac{1}{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$-2B）=0，
∴sinCcosA-$\frac{1}{2}$cos2B=0，
∴2sinCcosA=1-2sin²B，
∴2sin（A+C）=sinB+1-2sin²B，
∴2sin²B+sinB-1=0，
解得sinB=$\frac{1}{2}$，B∈$（0，\frac{π}{2}）$，
∴B=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、诱导公式、和差化积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．