Question

18．在△ABC中，若a²cosAsinB=b²cosBsinA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 法一：由正弦定理，二倍角公式化简可得sin 2A=sin 2B，结合A，B的范围，可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，从而可得△ABC为等腰或直角三角形．
法二：由已知及正弦定理、余弦定理得：a²b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=b²a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，化简可得：a=b或a²+b²=c²，从而△ABC为等腰或直角三角形．

解答 （本小题满分12分）
解∵a²cos Asin B=b²sin Acos B．
方法一　由正弦定理知a=2Rsin A，b=2Rsin B，
∴sin²Acos Asin B=sin²Bsin Acos B，
又sin A•sin B≠0，∴sin Acos A=sin Bcos B，
∴sin 2A=sin 2B．
在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
∴2A=2B或2A=π-2B，∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC为等腰或直角三角形．
方法二　由正弦定理、余弦定理得：
a²b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=b²a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²），
∴（a²-b²）（a²+b²-c²）=0，
∴a²-b²=0或a²+b²-c²=0．
即a=b或a²+b²=c²．
∴△ABC为等腰或直角三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．