Question

4．设{a_n}是等比数列，则对任何n∈N^*，都有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}•\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}…\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{{{{（{a_1}•{a_n}）}^n}}}$
• B． $\frac{1}{{{{（{a_1}•{a_{n+1}}）}^n}}}$
• C． $\frac{1}{{{{（{a_1}•{a_n}）}^{n+1}}}}$
• D． $\frac{1}{{{{（{a_1}•{a_{n+1}}）}^{n+1}}}}$

Answer 1

分析 由等比数列的性质，可得a₁a_n+1=a₂a_n=…=a_n+1a₁，再由累乘法即可得到所求．

解答 解：因为a₁a_n+1=a₂a_n=…=a_n+1a₁，
所以${（{a_1}a_2^{\;}a_3^{\;}…{a_n}{a_{n+1}}）^2}={（{a_1}{a_{n+1}}）^{n+1}}$，
即${a_1}a_2^2a_3^2…{a_n}^2{a_{n+1}}={（{a_1}{a_{n+1}}）^n}$，
故 $\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}•\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}…\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{{{（{a_1}•{a_{n+1}}）}^n}}}$．
故选B．

点评 本题主要考查等比数列的性质、累乘求积法．属于中档题．