Question

16．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，AC=AP．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：PC⊥AE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CE∥平面PAB；
（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明PC⊥AE．

解答 证明：（Ⅰ）取AD的中点M，连接CM，EM．则有 EM∥PA．

因为 PA?平面PAB，EM?平面PAB
所以EM∥平面PAB．…2分
由题意知∠BAC=∠CAD=∠ACM=60°，
所以 CM∥AB．
同理 CM∥平面PAB．…4分
又因为 CM?平面CME，EM?平面CME，CM∩EM=M
所以 平面CME∥平面PAB．
因为 CE?平面CME
所以 CE∥平面PAB． …6分
（Ⅱ）取PC的中点F，连接EF，AF，则EF∥CD．
因为AP=AC，所以 PC⊥AF．…7分
因为 PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以 PA⊥CD
又 AC⊥CD
所以 CD⊥平面PAC…9分
因为PC?平面PAC所以 CD⊥PC
又 EF∥CD，所以 EF⊥PC
又因为PC⊥AF，AF∩EF=F
所以 PC⊥平面AEF…11分
因为AE?平面AEF
所以 PC⊥AE…12分．

点评 本题主要考查线面平行和线面垂直的判断，根据相应的判定定理是解决本题的关键．