Question

5．如图1，在梯形狀ABCD中AD∥BC．AD⊥DC．BC=2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形从ABEF沿AB折起到四边形ABE₁F₁的位置，使平面ABE₁F₁丄平面ABCD，M为AF₁的中点，如图2．
（Ⅰ）求证：BE₁⊥DC；
（Ⅱ）求证：DM∥平面BCE₁；
（Ⅲ）判断直线CD与ME₁的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用线面垂直的定理证明出BE₁⊥平面ABCD，进而可推断出BE₁⊥DC．
（Ⅱ）先证明出AM∥BE₁，然后利用面面平行的判定定理证明出平面ADM∥平面BCE₁．
（Ⅲ）取BC的中点P，CE₁的中点Q，连结AP，PQ，QM，利用中位线的性质证明出PQ∥AM，且PQ=AM，推断四边形APQM为平行四边形和CDMQ为平行四边形，进而推断出DM∥CQ，证明出四边形DME₁C是以DM，CE₁为底边的梯形，进而判断出直线CD与ME₁相交．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABE₁F₁为矩形，
∴BE₁⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABE₁F₁，且平面ABCD∩平面ABE₁F₁=AB，BE₁?平面ABE₁F₁，
∴BE₁⊥平面ABCD．
∵DC?平面ABCD，
∴BE₁⊥DC．
（Ⅱ）∵四边形ABE₁F₁为矩形，
∴AM∥BE₁，
∵AD∥BC，AD∩AM=A，BC∩BE₁=B，
∴平面ADM∥平面BCE₁．
（Ⅲ）直线CD与ME₁相交，理由如下：
取BC的中点P，CE₁的中点Q，连结AP，PQ，QM，
∴PQ∥BE₁，且PQ=$\frac{1}{2}$BE₁，
在矩形ABE₁F₁中，M为AF₁的中点，
∴AM∥BE₁，且AM=$\frac{1}{2}$BE₁，
∴PQ∥AM，且PQ=AM．
∴四边形APQM为平行四边形．
∴MQ∥AP，MQ=AP．
∵四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，BC=2AD，
∴AD∥PC，AD=PC．
∴四边形ADCP为平行四边形，
∴CD∥AP，且CD=AP．
∴CD∥MQ，且CD=MQ．
∴CDMQ为平行四边形．
∴DM∥CQ，即DM∥CE₁．
∵DM≠CE₁，∴四边形DME₁C是以DM，CE₁为底边的梯形．
∴直线CD与ME₁相交．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理和线面平行，面面平行的判定定理的运用．考查了学生的空间观察和想象能力．