Question

1．已知{a_n}的前n项和S_n，a_n＞0且a_n²+2a_n=4S_n+3
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用递推关系式a_n²+2a_n=4S_n+3，3+4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1，相减得出a_n+1-a_n=2，可判断等差数列，
求解通项公式
（2）利用a_n的通项公式得出b_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2n+1}$$-\frac{1}{2n+3}$]裂项求解即可．

解答 （1）证明：∵3+4S_n=a_n²+2a_n，3+4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1，
两式相减整理可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵n≥1时，a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
n=1时，a₁=-1（舍去），a₁=3
∴{a_n}成等差数列，首项为3，公差为2，
∴a_n=2n+1
（2）∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，
∴b_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2n+1}$$-\frac{1}{2n+3}$]
∴{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$$+\frac{1}{5}$$-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$$-\frac{1}{2n+3}$]=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$]=$\frac{n}{3（2n+3）}$

点评 本题综合考查了等差数列的性质，通项公式，裂项法求解数列的和，考查了学生的运算化简能力，属于中档题．