Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD，PB的中点．
（Ⅰ）证明：直线NC∥平面PAD；
（Ⅱ）求平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥P-MNC的体积V．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立如图的空间直角坐标系，通过证明$\overrightarrow{NC}•\overrightarrow{AB}=0$，AB⊥面PAD推出直线NC∥平面PAD．
（Ⅱ）求出面MNC的一个法向量，然后求解平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
（Ⅲ）设P到面MNC的距离为d，利用向量求解棱锥的高，然后求解三棱锥P-MNC的体积．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：以A原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立如图的空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（0，2，0），M（1，0，1），N（0，1，1），C（2，1，0），P（0，0，2）$\overrightarrow{MN}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{NC}=（2，0，-1）$，$\overrightarrow{AB}=（0，2，0）$，∵$\overrightarrow{NC}•\overrightarrow{AB}=0$，且AB⊥面PAD，
所以，直线NC∥平面PAD；
（Ⅱ）设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是面MNC的一个法向量，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{MN}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{NC}=0}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（-1，1，0）=0}\\{（x，y，z）•（2，0，-1）=0}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x-z=0}\end{array}}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow n=（1，1，2）$，
$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{AP}}\right＞=\frac{（1，1，2）•（0，0，2）}{{|{（1，1，2）}|•|{（0，0，2）}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
故平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；
（Ⅲ）$MD=\sqrt{2}$，DC=1，$MC=\sqrt{3}$，$MN=\sqrt{2}$，$NC=\sqrt{5}$，MN⊥MC，
${S_{△MNC}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
设P到面MNC的距离为d，
则$d=|{\frac{{\overrightarrow{MP}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow n}|}}}|=\frac{（-1，0，1）•（1，1，2）}{{\sqrt{6}}}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}$，
三棱锥P-MNC的体积$V=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}×\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，二面角的求法，棱锥的体积的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．