Question

【题目】已知函数f（x）=2x+a2﹣x ， 其中常数a≠0．
（1）当a=1时，f（x）的最小值；
（2）当a=256时，是否存在实数k∈（1，2]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=2x+ ≥2 =2，

当且仅当 ，即x=0时取等号

（2）解：当k∈（1，2]时，0＜k﹣cosx≤3，0＜k2﹣cos2x≤4，

当a=256时，f（x）=2x+2562﹣x，

由复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，要使不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R恒成立，只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x，即cos2x﹣cosx≤k2﹣k ①

设g（x）=cos2x﹣cosx，则g（x）的最大值为2．

要使得①式成立，必须k2﹣k≥2，即k≥2或k≤﹣1

∴在区间（1，2]上存在k=2，使得原不等式对任意的x∈R恒成立

【解析】（1）利用基本不等式a+b≥2 （a＞0，b＞0）直接可求得最小值；（2）复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，要使不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R恒成立，只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x，即cos2x﹣cosx≤k2﹣k ①；设g（x）=cos2x﹣cosx，则g（x）的最大值为2．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．