Question

【题目】在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD，又CD平面BCD，∴AB⊥CD．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．
∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．
设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，
令y=﹣1，则x=1，z=1．
∴=（1，﹣1，1）．
设直线AD与平面MBC所成角为θ．
则sinθ=|cos<,>|===．

【解析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos<,>|=即可得出．