Question

【题目】△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，则此三角形的面积为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n-1）ncosα，将表示出的cosα代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，从而得到三边长的值，最后求三角形的面积．

解：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，

由正弦定理可得：，

∴cosα=，

再由余弦定理可得：（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n+1）ncosα=（n+1）2+n2-2（n+1）n，

化简可得：n2-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），

∴n=5，故三角形的三边长分别为：4，5，6.

所以cosα=，

所以S=.

故答案为：