Question

【题目】已知矩形ABCD的边AB=2，BC=1，以A为坐标原点，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，建立直角坐标系。将矩形折叠，使A点落在线段DC上，重新记为点

(1)当点坐标为(1,1)时，求折痕所在直线方程.

(2)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；

(3)当时，设折痕所在直线与轴交于点E，与轴交于点F，将沿折痕EF旋转．使二面角的大小为，设三棱锥的外接球表面积为，试求最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）根据两个点关于直线对称得到对称直线的斜率，由中点坐标公式得到中点，代入直线可得到结果；（2）当时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为；当时，A点落在线段同DC上的点记为G(，1)，根据对称性得到直线斜率和直线上的点，由点斜式得到结果；（3）根据题意可得到EF的中点G为外接球的球心，根据两点间距离公式可得到半径，进而求解.

(1)折叠后，根据点关于线对称得到直线的斜率为：，两个点的中点为：在直线上，故易求所在直线方程为：.

(2)当时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为

当时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G(，1) ()，则A与G关于折痕所在直线对称，得 故

线段OG中点，所以折痕所在直线方程为：

即

综上所述，所求折痕所在直线方程为.

(3)由（2）当时，折痕所在直线与轴交于点E，与轴交于点F，则，记EF的中点为G点，根据直角三角形中线的性质得到：，故得到G点为球的直径；球的直径即为，

所以所以 ,

所以最小值为.