Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，N（0，-1）为椭圆的一个顶点，且右焦点F₂到双曲线x²-y²=2渐近线的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于A、B两点．
①若NA，NB为邻边的平行四边形为菱形，求m的取值范围；
②若直线l过定点P（1，1），且线段AB上存在点T，满足$\frac{|AP|}{|AT|}$=$\frac{|PB|}{|TB|}$，证明：点T在定直线上．

Answer 1

分析 解：（1）通过双曲线x²-y²=2的渐近线方程为y=±x及点到直线的距离公式可知$\frac{|c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，结合b=1、a²=b²+c²可求出a，b，c，进而可得椭圆C的方程；
（2）①通过将直线l代入椭圆C方程，利用韦达定理，可得AB的中点S（$\frac{-5km}{1+5{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+5{k}^{2}}$），利用NS⊥AB即k_NS=-$\frac{1}{k}$化简可知5k²+1=4m，代入根的判别式可得结论；②通过设T（x，y），设$\overrightarrow{PA}$=-λ$\overrightarrow{AT}$，$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{BT}$（λ≠0，±1），可分别用λ、x、y表示出A、B两点的横纵坐标，利用点A、B在椭圆C上整理即得结论．

解答 解：（1）因为双曲线x²-y²=2的渐近线方程为：y=±x，
所以由题可知：b=1，$\frac{|c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，
解得：c=2，b=1，a²=5，
所以椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1；
（2）①将直线l代入椭圆C得：（1+5k²）x²+10kmx+5m²-5=0，
△=20（1+5k²-m²）＞0，设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=$\frac{-10km}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{5{m}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$，
则AB的中点S（$\frac{-5km}{1+5{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+5{k}^{2}}$），
因为NA，NB为邻边的平行四边形为菱形，
所以NS⊥AB，则k_NS=-$\frac{1}{k}$，
所以$\frac{\frac{m}{1+5{k}^{2}}+1}{\frac{-5km}{1+5{k}^{2}}}$=$\frac{5{k}^{2}+1+m}{-5km}$=-$\frac{1}{k}$，化简得：5k²+1=4m，
代入△=20（1+5k²-m²）＞0，得：-m²+4m＞0，解得：0＜m＜4．
由5k²=4m-1＞0得：m＞$\frac{1}{4}$，
所以m的取值范围为：（$\frac{1}{4}$，4）；
②设T（x，y），由题设|$\overrightarrow{PA}$|，|$\overrightarrow{PB}$|，|$\overrightarrow{AT}$|，|$\overrightarrow{TB}$|均不为零，且$\frac{|AP|}{|AT|}$=$\frac{|PB|}{|TB|}$，
又P，A，T，B四点共线，可设$\overrightarrow{PA}$=-λ$\overrightarrow{AT}$，$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{BT}$（λ≠0，±1），
于是x₁=$\frac{1-λx}{1-λ}$，y₁=$\frac{1-λy}{1-λ}$，x₂=$\frac{1+λx}{1+λ}$，y₂=$\frac{1+λx}{1+λ}$，
由于A、B两点在椭圆C上，代入方程，得：
（x²+5y²-5）λ²-2（x+5y-5）λ+1=0，（x²+5y²-5）λ²+2（x+5y-5）λ+1=0，
两式相减，得：4（x+5y-5）λ=0，
由λ≠0可知x+5y-5=0，即点T（x，y）在定直线x+5y-5=0上．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及求椭圆的方程、定直线问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．