Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{256}，{a_{n+1}}=2\sqrt{a_n}$，若b_n=log₂a_n-2，则b₁•b₂•…•b_n的最大值为$\frac{625}{4}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{256}，{a_{n+1}}=2\sqrt{a_n}$，取对数可得：log₂a_n+1=1+$\frac{1}{2}lo{g}_{2}{a}_{n}$．由b_n=log₂a_n-2，代入可得：b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，利用等比数列的通项公式可得：b_n=-10×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．代入b₁•b₂•…•b_n=（-10）ⁿ×$（\frac{1}{2}）^{1+2+…+（n-1）}$=（-10）ⁿ×${2}^{-\frac{n（n-1）}{2}}$=f（n）．作商$\frac{f（n+2）}{f（n）}$=$\frac{100}{{2}^{2n+1}}$，只考虑n为偶数时，即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{256}，{a_{n+1}}=2\sqrt{a_n}$，
∴log₂a_n+1=1+$\frac{1}{2}lo{g}_{2}{a}_{n}$．
∵b_n=log₂a_n-2，
b_n+1+2=1+$\frac{1}{2}（{b}_{n}+2）$，变形为：b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，
b₁=$lo{g}_{2}\frac{1}{256}$-2=-10．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为-10，公比为$\frac{1}{2}$．
∴b_n=-10×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
则b₁•b₂•…•b_n=（-10）ⁿ×$（\frac{1}{2}）^{1+2+…+（n-1）}$=（-10）ⁿ×${2}^{-\frac{n（n-1）}{2}}$=f（n）．
$\frac{f（n+2）}{f（n）}$=$\frac{100}{{2}^{2n+1}}$，只考虑n为偶数时，
n=2时，$\frac{f（4）}{f（2）}$=$\frac{25}{8}$＞1．
n=4时，$\frac{f（6）}{f（4）}$=$\frac{25}{128}$＜1．
因此f（4）取得最大值．最大值为（-10）⁴×2^-6=$\frac{625}{4}$．
故答案为：$\frac{625}{4}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、作商法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．