Question

17．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一个交点为A，过A作x轴的垂线，垂足恰为该椭圆的焦点F，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{13}{4}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Answer 1

分析 由题意求得A点坐标，代入双曲线的渐近线方程，即可求得$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，由双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知：椭圆的右焦点F（1，0），当x=1时，y=±$\frac{3}{2}$，设A位于第一象限，A（1，$\frac{3}{2}$），
则A在直线y=$\frac{b}{a}$x上，即$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴双曲线的离心率$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，椭圆的焦点坐标的求法，考查计算能力，属于基础题．