Question

5．已知A、F分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；
（3）记圆O：x²+y²=$\frac{ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$为椭圆C的“关联圆”．若b=$\sqrt{3}$，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证：$\frac{3}{{m}^{2}}$+$\frac{4}{{n}^{2}}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由PF⊥x轴，知x_P=c，代入椭圆C的方程，得${y}_{p}=±\frac{{b}^{2}}{a}$，由此能求出椭圆C的离心率．
（2）由四边形AOPQ是平行四边形，知PQ=a，且PF∥x轴，从而y_p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，y_Q=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，由此能求出k_AP•k_OQ．（3）由（1）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又b=$\sqrt{3}$，从而椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，圆O的方程为x²+y²=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$，连接OM，ON，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，从而四边形OMPN的外接圆是以OP 为直径的圆，由此能证明$\frac{3}{{m}^{2}}+\frac{4}{{n}^{2}}$为定值．

解答 解：（1）由PF⊥x轴，知x_P=c，代入椭圆C的方程，
得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{p}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得${y}_{p}=±\frac{{b}^{2}}{a}$，…（2分）
又AF=2PF，∴a+c=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∴a²+ac=2b²，即a²-2c²-ac=0，
∴2e²+e-1=0，
由e＞0解得椭圆C的离心率e=$\frac{1}{2}$．…（4分）
（2）∵四边形AOPQ是平行四边形，∴PQ=a，且PF∥x轴，
∴${x}_{P}=\frac{a}{2}$，代入椭圆C的方程，解得${y}_{P}=±\frac{\sqrt{3}}{2}b$，…（6分）
∵点P在第一象限，∴y_p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
同理可得x_Q=-$\frac{a}{2}$，y_Q=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，…（7分）
∴k_AP•k_OQ=$\frac{\frac{\sqrt{3}b}{2}}{\frac{a}{2}-（-a）}$•$\frac{\frac{\sqrt{3}b}{2}}{-\frac{a}{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
由（1）知e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，∴k_AP•k_OQ=-$\frac{3}{4}$．…（9分）
证明：（3）由（1）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又b=$\sqrt{3}$，解得a=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
圆O的方程为x²+y²=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$，①…（11分）
连接OM，ON，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，
∴四边形OMPN的外接圆是以OP 为直径的圆，
设P（x₀，y₀），则四边形OMPN的外接圆方程为（x-$\frac{{x}_{0}}{2}$）²+（y-$\frac{{y}_{0}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$），
即${x}^{2}-x{x}_{0}+{y}^{2}-y{y}_{0}$=0，②…（13分）
①-②，得直线MN的方程为xx₀+yy₀=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$，
令y=0，则m=$\frac{2\sqrt{3}}{7{x}_{0}}$，令x=0，则n=$\frac{2\sqrt{3}}{7{y}_{0}}$．
∴$\frac{3}{{m}^{2}}$+$\frac{4}{{n}^{2}}$=49（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$），
∵点P在椭圆C上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，
∴$\frac{3}{{m}^{2}}+\frac{4}{{n}^{2}}$=49（为定值）．…（16分）

点评 本题考查椭圆的离心率、椭圆方程、代数式为定值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题，