Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x²=4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 求导，根据导数的几何意义求得切线PA和PB的方程，求得直线AB的方程，且直线AB过定点F（0，1），根据三角形的面积公式，即可求得△AOB面积的最小值．

解答 解：如图所示：抛物线C：x²=4y，准线l的方程y=-1，设P（x₀，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=$\frac{1}{4}$x²，求导y′=$\frac{1}{2}$x，
切线PA的方程为y-x₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），即y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁，
又切线PA过点P（x₀，-1），-1=$\frac{1}{2}$x₁x₀-y₁，
整理得：x₁x₀-2y₁+2=0，
同理切线PB的方程x₂x₀-2y₂+2=0，
∴直线AB的方程为xx₀-2y+2=0，
直线AB过定点F（0，1），
∴△AOB面积，S=$\frac{1}{2}$丨OF丨丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$丨x₁-x₂丨≥$\frac{1}{2}$×4=2，
∴当且仅当直线AB⊥y轴时取等号，
∴△AOB面积的最小值2，
故选B．

点评 本题考查抛物线的切线方程的求法，考查导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题．