Question

3．已知函数f（x）=xe^x．
（Ⅰ）讨论函数g（x）=af（x）+e^x的单调性；
（Ⅱ）若直线y=x+2与曲线y=f（x）的交点的横坐标为t，且t∈[m，m+1]，求整数m所有可能的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）原命题等价于方程xe^x=x+2在x∈[m，m+1]上有解，由于e^x＞0，原方程等价于e^x-$\frac{2}{x}$-1=0，令r（x）=e^x-$\frac{2}{x}$-1，根据函数的单调性求出m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）g（x）=axe^x+e^x，∴g′（x）=（ax+a+1）e^x，
①a=0时，g′（x）=e^x，g′（x）＞0在R恒成立，
故函数g（x）在R递增；
②a＞0时，x＞-$\frac{a+1}{a}$时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x＜-$\frac{a+1}{a}$时，g′（x）＜0，函数g（x）递减；
③a＜0时，当x＞-$\frac{a+1}{a}$时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，
x＜-$\frac{a+1}{a}$时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，
综上，a=0时，函数g（x）在R递增，
a＞0时，函数g（x）在（-∞，-$\frac{a+1}{a}$）递减，在（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）递增，
a＜0时，函数g（x）在（-∞，-$\frac{a+1}{a}$）递增，在（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）递减；
（Ⅱ）由题意得，原命题等价于方程xe^x=x+2在x∈[m，m+1]上有解，
由于e^x＞0，故x=0不是方程的解，
故原方程等价于e^x-$\frac{2}{x}$-1=0，
令r（x）=e^x-$\frac{2}{x}$-1，r′（x）=e^x+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
故r（x）在（-∞，0）和（0，+∞）递增，
又r（1）=e-3＜0，r（2）=e²-2＞0，r（-3）=e³-$\frac{1}{3}$＜0，r（-2）=e²＞0，
故直线y=x+2和曲线y=f（x）的交点有2个，
且两交点的横坐标分别在区间[1，2]和[-3，-2]内，
故整数m的所有值是-3，1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．