Question

14．如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥
AB，M是EC上的点（不与端点重合），F为DA上的点，N为BE的中点．
（Ⅰ）若M是EC的中点，AF=3FD，求证：FN∥平面MBD；
（Ⅱ）若平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为$\frac{1}{3}$，试确定点M在EC上的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得AE、AB、AD两两垂直，以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{FN}$的坐标，再求出平面MBD的一个法向量$\overrightarrow{m}$，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FN}=0$可得FN∥平面MBD；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CE}$，把M的坐标用λ表示，求出平面BDM的一个法向量，再求出平面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值的绝对值为$\frac{1}{3}$求得λ值，则答案可求．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥AE，DA⊥AB，又EA⊥AB，
∴以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设CB=4，由CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，N为BE的中点，M是EC的中点，AF=3FD，
得F（0，0，6），N（4，4，0），M（4，4，2），B（0，8，0），D（0，0，8），
C（0，8，4），E（8，0，0）．
∴$\overrightarrow{FN}=（4，4，-6）$，$\overrightarrow{DB}=（0，8，-8）$，$\overrightarrow{DM}=（4，4，-6）$．
设平面MBD的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=8y-8z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=4x+4y-6z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}=（\frac{1}{2}，1，1）$．
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FN}$=$\frac{1}{2}×4+1×4-1×6=0$，∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{FN}$，则FN∥平面MBD；
（Ⅱ）解：设$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CE}$，M（x₁，y₁，z₁），
则$\overrightarrow{CM}$=（x₁，y₁-8，z₁-4），$\overrightarrow{CE}=（8，-8，-4）$，
∴（x₁，y₁-8，z₁-4）=（8λ，-8λ，-4λ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=8λ}\\{{y}_{1}-8=-8λ}\\{{z}_{1}-4=-4λ}\end{array}\right.$，得M（8λ，8-8λ，4-4λ），
∴$\overrightarrow{DM}=（8λ，8-8λ，-4-4λ）$．
设平面BDM的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=8{y}_{2}-8{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=8λ{x}_{2}+（8-8λ）{y}_{2}-（4+4λ）{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z₂=1，得$\overrightarrow{n}=（\frac{3λ-1}{2λ}，1，1）$．
平面ABD的一个法向量为$\overrightarrow{t}=（1，0，0）$，
由|cos＜$\overrightarrow{t}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{t}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{t}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\frac{3λ-1}{2λ}}{1×\sqrt{（\frac{3λ-1}{2λ}）^{2}+2}}$|=$\frac{1}{3}$，得8λ²-6λ+1=0，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{1}{4}$．
∵平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值为$\frac{1}{3}$，∴$λ=\frac{1}{2}$，即M为EC中点．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查存在性问题的求解方法，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．