Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一条渐近线与x轴的夹角为30°，那么双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一的一条渐近线与x轴的夹角为30°，可得 $\frac{b}{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用e=$\frac{c}{a}$=转化求出双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一条渐近线与x轴的夹角为30°，
∴$\frac{b}{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键．