Question

9．为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如表：

新能源汽车补贴标准
车辆类型	续驶里程R（公里）
	100≤R＜180	180≤R＜280	＜280
纯电动乘用车	2.5万元/辆	4万元/辆	6万元/辆

某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：

分组	频数	频率
100≤R＜180	3	0.3
180≤R＜280	6	x
R≥280	y	z
合计	M	1

（1）求x、y、z、M的值；
（2）若从这M辆纯电动乘用车任选3辆，求选到的3辆车续驶里程都不低于180公里的概率；
（3）如果以频率作为概率，若某家庭在某汽车销售公司购买了2辆纯电动乘用车，设该家庭获得的补贴为X（单位：万元），求X的分布列和数学期望值E（X）．

Answer 1

分析 （1）由频率与频数的统计表列出方程组，能求出x、y、z、M的值．
（2）从这M辆纯电动乘用车任选3辆，基本事件总数n=${C}_{10}^{3}$=120，10辆车中，有7辆车续驶里程不低于180公里，选到的3辆车续驶里程都不低于180公里包含的基本事件个数m=${C}_{7}^{3}$=35，由此能求出选到的3辆车续驶里程都不低于180公里的概率．
（3）由题意知X的可能取值为5，6.5，8，8.5，10，12，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{M}=0.3}\\{\frac{6}{M}=x}\\{3+6+y=M}\\{0.3+x+z=1}\end{array}\right.$，
解得x=0.6，y=1，z=0.1，M=10．
（2）从这M辆纯电动乘用车任选3辆，
基本事件总数n=${C}_{10}^{3}$=120，
10辆车中，有7辆车续驶里程不低于180公里，
选到的3辆车续驶里程都不低于180公里包含的基本事件个数m=${C}_{7}^{3}$=35，
∴选到的3辆车续驶里程都不低于180公里的概率p=$\frac{35}{120}$=$\frac{7}{24}$．
（3）由题意知X的可能取值为5，6.5，8，8.5，10，12，
P（X=5）=0.3²=0.09，
P（X=6.5）=${C}_{2}^{1}0.3×0.6=0.36$，
P（X=8）=0.6²=0.36，
P（X=8.5）=${C}_{2}^{1}0.3×0.1$=0.06，
P（X=10）=${C}_{2}^{1}0.1×0.6=0.12$，
P（X=12）=0.1²=0.01，
∴X的分布列为：

X	5	6.5	8	8.5	10	12
P	0.09	0.36	0.36	0.06	0.12	0.01

E（X）=5×0.09+6.5×0.36+8×0.36+8.5×0.06+10×0.12+12×0.01=7.5．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．