Question

【题目】已知焦点在轴上的抛物线过点，椭圆的两个焦点分别为，，其中与的焦点重合，过点与的长轴垂直的直线交于，两点，且，曲线是以坐标原点为圆心，以为半径的圆.

（1）求与的标准方程；

（2）若动直线与相切，且与交于，两点，求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 的标准方程为.的标准方程为.(2)

【解析】

（1）先由已知设抛物线的方程为，根据抛物线过点，即可求出抛物线方程，得出坐标，再由题意可得，进而可求出椭圆方程；又曲线是以坐标原点为圆心，以为半径的圆，根据坐标坐标得出的值，即可写出圆的标准方程；

（2）先由直线与相切，得圆心到直线的距离为1，因此，根据题意分类讨论：当直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合韦达定理和弦长公式，分别求出的范围即可.

解：（1）由已知设抛物线的方程为，

则，解得，即的标准方程为.

则，不妨设椭圆的方程为，

由，得，所以，

又，所以，，

故的标准方程为.

易知，所以的标准方程为.

（2）因为直线与相切，所以圆心到直线的距离为1.所以.

当直线的斜率不存在时，其方程为，易知两种情况所得到的的面积相等.

由，得.

不妨设，，则，

此时.

当直线的斜率存在时，设其方程为，

则，即.

由，得，

所以 恒成立.

设，，

则，.

所以.

令，则，

所以

，

令，则，

易知区间上单调递减，所以.

综上，的面积的取值范围为.