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已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为
1
2
,又抛物线C2:y2=4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足
F1P
F1Q
,求实数λ的取值范围.
(1)在椭圆中,c=1,e=
1
2
,所以a=2,b=
a2-c2
=
3
,故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1
…(2分)
抛物线中,
p
2
=1
,所以p=2,故抛物线方程为y2=4x…(4分)
(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得
y=k(x+1)
y2=4x.

消去y,整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
因为直线和抛物线有两个交点,所以k≠0,(2k2-4)2-4k4>0.
解得-1<k<1且k≠0…(6分)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=
4-2k2
k2
,x1x2=1…(8分)
F1P
F1Q
,所以
x1+1=λ(x2+1)
y1y2.

又y2=4x,由此得4x124x2,即x12x2
由x1x2=1,解得x1=λ,x2=
1
λ
…(10分)
x1+x2=
4-2k2
k2
=
4
k2
-2
,所以λ+
1
λ
=
4
k2
-2

又因为0<k2<1,所以λ+
1
λ
=
4
k2
-2>2

解得λ>0且λ≠1…(14分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=
5
3

(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆C1上,对角线BD所在的直线的斜率为1.
①当直线BD过点(0,
1
7
)时,求直线AC的方程;
②当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一条准线方程是x=
25
4
,其左、右顶点分别是A、B;双曲线C2
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一条渐近线方程为3x-5y=0.
(1)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;
(2)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连接AP交椭圆C1于点M,连接PB并延长交椭圆C1于点N,若
AM
=
MP
.求
MN
AB
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,直线l:y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程.
(Ⅱ)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-
y2
4
=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则b2=
0.5
0.5

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•汕头一模)已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,离心率e=
1
2

(1)设抛物线C2:y2=4x的准线与x轴交于F1,求椭圆的方程;
(2)设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点,顶点为焦点,b是双曲线C3在第一象限上任意-点,问是否存在常数λ(λ>0),使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

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