Question

5．已知函数$f（x）=\frac{n}{x}（n∈{N^*}）$，过点P（n，f（n））与y=f（x）的图象相切的直线l交x轴于A（x_n，0），交y轴于B（0，y_n），则数列$\{\frac{1}{{{x_n}（{x_n}+{y_n}）}}\}$的前n项和为$\frac{n}{4n+4}$．

Answer 1

分析 f′（x）=-$\frac{n}{{x}^{2}}$，可得过点P（n，f（n））的切线方程为：y-1=$-\frac{1}{n}$（x-n），x_n=2n，y_n=2．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：f′（x）=-$\frac{n}{{x}^{2}}$，∴过点P（n，f（n））的切线方程为：y-1=$-\frac{1}{n}$（x-n），
则x_n=2n，y_n=2．
∴$\frac{1}{{x}_{n}（{x}_{n}+{y}_{n}）}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∵数列$\{\frac{1}{{{x_n}（{x_n}+{y_n}）}}\}$的前n项和=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{4n+4}$．
故答案为：$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了导数的运算法则及其几何意义、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．