Question

10．已知函数$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-e）x$（x≥0）（e=2.71828…为自然对数的底数）
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）当1＜a＜e时，求f（x）单调区间的个数．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）=e^x-exf'（x）=e^x-e，通过当0≤x＜1时，当x＞1时，判断函数的单调性求出函数的极值；
（2）求出导函数f'（x）=e^x-ax+a-e．构造g（x）=f'（x）=e^x-ax+a-e，求出导数g'（x）=e^x-a．判断单调性求出最小值，设h（x）=2x-xlnx-e（x＞1），求出h'（x）=1-lnx．判断单调性求出最值，通过e-1＜a＜e，求解即可．

解答 解：（1）∵$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-e）x$（x≥0），a=0∴f（x）=e^x-exf'（x）=e^x-e．…（1分）
∴当0≤x＜1时，f'（x）＜0，f（x）是减函数．
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）是增函数．          …（3分）
又f'（1）=0，∴f（x）的最小值f（x）_min=f（x）_极小=f（1）=0．…（4分）
（2）∵$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}+（a-e）x$（x≥0），
∴f'（x）=e^x-ax+a-e．
设g（x）=f'（x）=e^x-ax+a-e，则g'（x）=e^x-a．
∵a＞1，∴g'（lna）=0，当0≤x＜lna时，g'（x）＜0，f'（x）单调递减．
当x＞lna时，g'（x）＞0，f'（x）单调递增．            …（6分）
∴f'（x）_min=f'（x）_极小=f'（lna）=2a-alna-e．
设h（x）=2x-xlnx-e（x＞1），则h'（x）=1-lnx．
当0＜x＜e时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＞e时，h'（x）＜0，h（x）单调递减．
∴h（x）_max=h（x）_极大=h（e）=0，即a=e时，f'（x）_min取得最大值0，
所以当1＜a＜e时，f'（x）_min＜0．…（7分）
若1＜a≤e-1，则f'（0）=1+a-e≤0，f'（1）=0，
∴0≤x＜1时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
即函数f（x）有两个单调区间．…（9分）
若e-1＜a＜e，则f'（0）=1+a-e＞0，∴存在x₀∈（0，lna），使得f'（x₀）=0．
又f'（1）=0∴0≤x＜x₀或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
x₀＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．即函数f（x）有三个单调区间．      …（11分）
综上所述，当1＜a≤e-1时，函数f（x）有两个单调区间，当e-1＜a＜e且a≠e时，函数f（x）有三个单调区间．                         …（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，二次导数的求法，考查转化思想以及计算能力．