Question

寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划

1

2

的同学从事项目①，

1

4

的同学从事项目②，最后

1

4

的同学从事项目③，乙组计划

1

5

的同学从事项目①，另

1

5

的同学从事项目②，最后

3

5

的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？

Answer 1

考点：集合中元素个数的最值

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：先设甲组x名同学，乙组y名同学，根据题意得，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过可行域内的点时，从而得到z值即可．

解答： 解：设甲组x名同学，乙组y名同学，根据题意得，

1 2 x+ 1 5 y≤20 1 4 x+ 1 5 y≤10 1 4 x+ 3 5 y≤18 x≥0，y≥0

整理得

5x+2y≤200 5x+4y≤200 5x+12y≤360 x≥0，y≥0

，
可行域如图所示，
参加活动的总人数z=x+y，变形为y=-x+z经过5x+4y=200和5x+12=360的交点A时，在y轴上的截距最大，
解方程组

5x+4y=200 5x+12y=360

得x=24，y=20，
所以z_max=x+y=24+20=44，
答：甲组24名同学，乙组20名同学，此时总人数达到最大值44人

点评：本题考查了线性规划在实际生活中的应用，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．