Question

设数列{a_n}的各项都不为零，求证：对任意n∈N^*且n≥2，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

成立的充要条件是{a_n}为等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：充分性：设等差数列{a_n}的公差为d，可得左边=

1

d

[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an-1

-

1

an

）]=

1

d

（

1

a1

-

1

an

），通分可得等于右边；
必要性：由

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

，①可得

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

=

n

a1an+1

，②，两式相减，由等差数列的定义可得．

解答： 证明：充分性，即由{a_n}为等差数列证

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

，
设等差数列{a_n}的公差为d，
则左边=

1

a2-a1

（

1

a1

-

1

a2

）+

1

a3-a2

（

1

a2

-

1

a3

）+…+

1

an-an-1

（

1

an-1

-

1

an

）
=

1

d

（

1

a1

-

1

a2

）+

1

d

（

1

a2

-

1

a3

）+…+

1

d

（

1

an-1

-

1

an

）
=

1

d

[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an-1

-

1

an

）]
=

1

d

（

1

a1

-

1

an

）=

1

d

•

an-a1

a1an

=

1

d

•

(n-1)d

a1an

=

n-1

a1an

=右边；
必要性：即由

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

证{a_n}为等差数列，
∵

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

，①
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

+

1

anan+1

=

n

a1an+1

，②
②-①可得

1

anan+1

=

n

a1an+1

-

n-1

a1an

，两边同乘以a₁a_na_n+1可得
a₁=na_n-（n-1）a_n+1，∴a₁=（n+1）a_n+1-na_n+2，
两式相减可得0=-na_n+2+（n+1）a_n+1+（n-1）a_n+1-na_n，
∴0=-na_n+2+2na_n+1-na_n，∴2a_n+1=a_n+2+a_n，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴数列{a_n}为等差数列．
当d=0时，上式仍成立．
综上可得对任意n∈N^*且a≥2，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

=

n-1

a1an

成立的充要条件是{a_n}为等差数列

点评：本题考查充要条件的证明，涉及等差数列的判定，属中档题．已改