Question

4．已知函数f（x）=x²cos$\frac{πx}{2}$，在数列{a_n}中，a_n=f（n）+f（n+1）（n∈N^*），则数列{a_n}的前80项之和S₈₀=6560．

Answer 1

分析 由已知可得：a_2k-1+a_2k=2f（2k）=（-1）^k×8k²．即可得出．

解答 解：a_2k=f（2k）+f（2k+1）=（2k）²cos（kπ）+$（2k+1）^{2}cos\frac{2k+1}{2}π$=（-1）^k（2k）²，k∈N^*．
a_2k-1=f（2k-1）+f（2k）=$（2k-1）^{2}cos\frac{2k-1}{2}π$+（2k）²cos（kπ）=（-1）^k（2k）²，k∈N^*．
∴a_2k-1+a_2k=2f（2k）=（-1）^k×8k²．
∴数列{a_n}的前80项之和S₈₀=8（-1²+2²-3²+4²+…-39²+40²）
=8（1+2+…+39+40）
=8×$\frac{40×（1+40）}{2}$
=6560．
故答案为：6560．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、“分组求和”方法、三角函数求值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．