Question

已知函数f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1，a∈R．
（1）证明函数H（x）=f（x）-g（x）恒有两个不同的零点；
（2）若函数f（x）在（0，2）上无零点，请讨论函数y=|g（x）|在（0，2）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据函数H（x）=f（x）-g（x）=3x² -2ax+a-1 的判别式△＞0，可得二次函数H（x）=f（x）-g（x）恒有两个不同的零点．
（2）由题意可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．根据函数y=|g（x）|=|2ax+1|，分①当a=0时、②当a＞0时、③当a≤-12三种
情况，分别研究函数的单调性．

解答：解：（1）证明：∵函数H（x）=f（x）-g（x）=3x² -2ax+a-1 的判别式△=4a²-12a+12=4[(x-

3

2

)2+

3

4

]＞0，
∴函数H（x）=f（x）-g（x）恒有两个不同的零点．
（2）若函数f（x）在（0，2）上无零点，结合f（x）在（0，2）上单调递增，
可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．
∵函数y=|g（x）|=|2ax+1|，
①故当a=0时，|g（x）|=1 在（0，2）上没有单调性．
②当a＞0时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|的零点为x=-

1

2a

＜0，函数y=|g（x）|在（0，2）上单调递增．
③当a≤-12时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|的零点为x=-

1

2a

∈（0，

1

24

]，函数y=|g（x）|在（0，-

1

2a

）上单调递减，在（-

1

2a

，2）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的判断和证明，带由绝对值的函数，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．