已知直线Ax+By+C=0,
(1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线;
(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交;
(3)系数满足什么条件时只与x轴相交;
(4)系数满足什么条件时是x轴;
(5)设P(x,y)为直线Ax+By+C=0上一点,证明:这条直线的方程可以写成A(x-x)+B(y-y)=0.
【答案】
分析:(1)首先注意这个方程表示一条直线的条件,即A,B不同时为0,在把原点的坐标代入,得到C要满足的条件.
(2)直线与坐标轴都相交,说明直线不与两条坐标轴垂直,因次得到A,B都不为0.
(3)直线Ax+By+C=0只与x轴相交,就是指与y轴不相交--平行、重合均可,因此直线方程将化成x=a的形式.
(4)直线是x轴,x轴的方程为y=0,直线方程Ax+By+C=0中A=0,C=0,B≠0即可.
(5)点是直线上的点,则点的坐标满足直线的方程,把点的坐标代入直线的方程,整理成所要的形式.
解答:解:(1)将O(0,0)代入Ax+By+C=0中
得C=0且A、B不同为零.
(2)直线Ax+By+C=0与坐标轴都相交,说明横纵截距a、b均存在.
设x=0,得
;
设y=0,得
均成立,
∴系数A、B应均不为零.
(3)直线Ax+By+C=0只与x轴相交,就是指与y轴不相交--平行、重合均可.
因此直线方程将化成x=a的形式,
故B=0且A≠0为所求.
(4)x轴的方程为y=0,直线方程Ax+By+C=0中A=0,C=0,B≠0即可.
B可以不为1,即By=0也可以等价转化为y=0.
(5)∵P(x
,y
)在直线Ax+By+C=0上,
∴(x
,y
)满足方程Ax+By+C=0,即Ax
+By
+C=0,
∴C=-Ax
-By
,
故Ax+By+C=0可化为Ax+By-Ax
-By
=0,
即A(x-x
)+B(y-y
)=0.
点评:本题考查了直线与坐标系的所有关系,是一个非常全面的问题,一个题目可以概括直线的绝大部分内容,是一个好题.