Question

设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f'（x）是奇函数．
（Ⅰ）求b，c的值．
（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+bx²+cx，∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，由奇函数定义得b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-或x＞，
当g'（x）＜0时，-＜x＜，
由此可知，的单调递增区间；的单调递减区间；
g（x）在x=时取得极大值，极大值为，g（x）在x=时取得极小值，极小值为．
分析：（1）根据g（x）=f（x）-f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x²+2bx+c能够求出b与c的值．
（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．g'（x）=0时的x函数g（x）取到极值．
点评：本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间，取到极值时导数为0．