Question

（本小题满分分）已知函数（，是不同时为零的常数）.
（1）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：函数在内至少存在一个零点．

Answer 1

（1）（2）时易证结论；时，利用函数的零点存在定理可以证明结论成立.

试题分析：（1）当时，，
由不等式即对任意恒成立，
得，解得.                                     ……5分
（2）证明：当时，因为，不同时为零，所以，
所以的零点为，                               ……6分
当时，二次函数的对称轴方程为，    ……7分
①若即时，
，
∴函数在内至少存在一个零点．                            ……10分
②若即时，
，
∴函数在内至少存在一个零点．                       ……13分
综上得：函数在内至少存在一个零点．                    ……14分
点评：恒成立问题，一般转化为最值问题解决，而函数的零点存在定理能确定一定存在零点，但是确定不了存在几个零点.