Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于

2

2

，它的一个顶点B恰好是抛物线x²=4y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）抛物线x²=4y的焦点为（0，1），可得c=1．再利用

c a = 2 2 b=1

，即可得出．
（2）利用三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x²+4bx+2（b²-1）=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
抛物线x²=4y的焦点为（0，1），
由

c a = 2 2 b=1

⇒a=

2

，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）假设存在直线l，使得点F是△BMN的垂心．
易知直线BF的斜率为-1，从而直线l的斜率为1．
设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x²+4mx+2（m²-1）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4

3

m，x1x2=

2m2-2

3

．
于是

NF

•

BM

=（1-x₂）x₁-y₂（y₁-1）
=x₁+y₂-x₁x₂-y₁y₂
=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=-2x₁x₂+（1-m）（x₁+x₂）+m-m²
=

-2(2m2-2)

3

+(1-m)(-

4m

3

)+m-m²=0，
解之得m=1或m=-

4

3

．
当m=1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意； 
 当m=-

4

3

时，经检验符合题意．
∴当且仅当直线l的方程为y=x-

4

3

时，点F是△BMN的垂心．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．