Question

【题目】数列中，，.前项和满足.

（1）求（用表示）；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列，当时，；当时，.记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合：若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见详解.

（3）能取整数,此时的取值集合为.

【解析】

（1）利用递推关系式,令,通过,求出即可.

（2）递推关系式转化为：,化简推出数列是等比数列.

（3）由,求出,求出,得到通项公式,然后求解的分母与分子,讨论要使取整数,需为整数,推出的取值集合为时,取整数

解：（1）令,则,

将,代入,有.

解得：.

（2）由

得,

化简得,又,

是等比数列.

（3）由,,

又是等比数列,

,

,

①当时,

依次为,

.

②当时,

,

,

,

要使取整数,需为整数,

令,,

,要么都为整数,要么都不是整数,

又

所以当且仅当为奇数时,为整数,

即的取值集合为时,取整数.