Question

【题目】已知函数f（x）=x+ （x＞0，m＞0）和函数g（x）=a|x﹣b|+c（x∈R，a＞0，b＞0）．问：
（1）证明：f（x）在（ ，+∞）上是增函数；
（2）把函数g1（x）=|x|和g2（x）=|x﹣1|写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出g2（x）的图象是如何由g1（x）的图象得到的．请利用上面你的结论说明：g（x）的图象关于x=b对称；
（3）当m=1，b=2，c=0时，若f（x）＞g（x）对于任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在 内任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0， ，

因为 ， ，所以x1x2＞m＞0，又有x2﹣x1＞0，所以△y＞0，

所以f（x）在 是增函数

（2）解： ， ；

g2（x）的图象是由g1（x）的图象向右平移1个单位得到的，

先考虑函数h（x）=a|x|+c（x∈R，b＞0），

在h（x）的定义域内任取一个实数x，则﹣x也在其定义域内，

因为h（﹣x）=a|﹣x|+c=a|x|+c=h（x），所以函数h（x）是偶函数，

即其图象的对称轴为x=0，

由上述结论，g（x）的图象是由h（x）的图象向右平移b个单位得到，

所以g（x）的图象关于x=b对称．

（3）解：由题意可知 对于任意的x＞0恒成立．

当x≥2时，不等式化为 ，

即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0对于任意x≥2恒成立，

当a﹣1=0时，即a=1，不等式化为2x+1＞0，满足题意；

当a﹣1≠0时，由题意 进而对称轴 ，

所以（a﹣1）22﹣2a2﹣1＜0，解得0＜a＜1；

结合以上两种情况0＜a≤1．

当0＜x＜2时，不等式 ，

即（a+1）x2﹣2ax+1＞0对于任意0＜x＜2恒成立，

由题意 进而对称轴 ，

所以△=4a2﹣4（a+1）＜0，即a2﹣a﹣1＜0，解得 ，

所以 ．

综上所述，a的取值范围为（0，1]．

【解析】（1）利用函数单调性的定义可直接证明f（x）在 是增函数．；（2）由题意知g2（x）的图象是由g1（x）的图象向右平移1个单位得到的；根据函数的性质与平移可证明g（x）的图象关于x=b对称；（3）利用转化思想：由题意可知 对于任意的x＞0恒成立．当x≥2时，不等式化为 ，
即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0对于任意x≥2恒成立．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．